Mathematical models of continuum media (in Russian)

Одним из интересных и бурно развивающихся разделов современной математики является изучение корректности задач для систем дифференциальных уравнений в частных производных. Многие из этих задач возникли на основе математических моделей механики сплошной среды. В настоящем курсе мы рассмотрим корректность некоторых из них.

Под корректностью задачи мы подразумеваем существование решений этой задачи для некоторого множества внешних параметров, а также единственность и устойчивость этих решений.

Данный курс знакомит слушателей с методами изучения корректности уравнений в частных производных на примерах задач для уравнений несжимаемой жидкости, а также задач о фазовых переходах в сплошной среде.

Первая часть курса (гл. 1 и 2) посвящена разрешимости краевых и начально-краевых задач для уравнений вязкой несжимаемой жидкости. Исследуются уравнения, полученные из системы уравнений Навье--Стокса

$v_t+v(\nabla\cdot v)=-\nabla p+\nu\Delta v+f,\qquad\mathop{\mathrm{div}}v=0$

линеаризацией или рассмотрением только стационарных по времени течений. Здесь и далее вектор скорости $v$ и давление $p$ неизвестны, а внешняя массовая сила $f$ и константа вязкости $\nu>0$ заданы. В гл. 3 исследуются стационарные задачи для этих уравнений, т. е. предполагается, что искомые функции не зависят от времени. Сначала изучается задача без учета конвективных членов и с постоянным давлением $\nabla p=0$, которой соответствует уравнение

$\nu\Delta v+f=0.\,$

Затем рассматривается стационарная задача для уравнений Стокса без учета конвективных членов

$-\nabla p+\nu\Delta v+f=0,\qquad \mathrm{div}v=0.$

И наконец, затем изучается разрешимость стационарных уравнений Навье-Стокса

$v(\nabla\cdot v)=-\nabla p+\nu\Delta v+f,\qquad \mathrm{div}v=0.$

В гл. 5 изучается линеаризованная нестационарная система уравнений Навье-Стокса, называемая уравнениями Стокса

$v_t+v(\nabla\cdot v)=-\nabla p+\nu\Delta v+f,\qquad \mathrm{div}v=0.$

В гл. 6 изучаются уравнения идеальной жидкости ($\nu=0$), называемые уравнениями Эйлера

$v_t+v(\nabla\cdot v)=-\nabla p+f,\qquad \mathrm{div}v=0.$

Содержание

* Основной математический аппарат
* Линеаризованные краевые задачи динамики вязкой несжимаемой жидкости