등비수열

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등비수열(等比數列, 문화어: 같은비수렬, 영어: geometric sequence) 또는 기하수열(幾何數列)은 각 항이 초항(first term)과 일정한 비를 가지는 수열을 말하며, 일정한 비를 공비(共比, common ratio)라고 한다.

초항이 a이고 공비가 r인 등비수열은 다음과 같다.

$a,ar,ar^{2},ar^{3},\cdots$

등비수열의 예

첫항이 1이고 공비가 2인 등비수열은 다음과 같다.

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, ... 즉 1, 1*2, 1*2², 1*2³...이다.

첫항이 729이고 공비가 2/3인 등비수열은 다음과 같다.

729, 486, 324, 216, 144, 96, 64, ...

첫항이 3이고 공비가 -1인 등비수열은 다음과 같다.

3, -3, 3, -3, 3, -3, 3, -3, ...

기본적 성질

첫항이 a이며, 공비가 r인 등비수열의 n번째 항은 다음과 같다.

$a_{n}=ar^{n-1}\;$

등비수열은 다음과 같은 점화식으로 표현될 수 있다.

$a_{n}r=a_{n+1}$

이를 이용해, 일반적으로 어떤 수열이 등비수열인지 확인하기 위해서는 각각의 연속된 항의 비가 일정한지만 확인하면 된다.

등비수열은 공비에 따라 여러 경향을 보이는데 만약 공비가

• 양수이면, 모든 항은 첫항과 같은 부호를 가진다.
• 음수이면, 계속 부호가 번갈아 가며 나타난다.
• 1보다 크면, 양의 무한대를 향해 지수적으로 증가한다.
• 1이면, 모든 항의 값이 같아진다.
• −1과 1사이에 있지만 0이 아니면, 0을 향해 지수적으로 감소한다.
• −1이면, 모든 항의 절댓값은 같지만, 부호가 계속 번갈아 가며 나타난다.
• 0이면, 첫항을 제외한 모든 항이 0이 된다.

등비수열은(공비가 −1, 1, 0이 아닌경우) 등차수열과 같이 선형 변화를 보이는 것과 달리, 지수적 변화를 보인다. 등차수열에 거듭제곱을 취하면 등비수열이 되고 반대로 등비수열의 각 항에 로그를 취하면 등차수열이 된다.

등비중항

0이 아닌 세 수 $a$, $b$, $c$가 이 순서로 등비수열을 이룰 때, $b$를 $a$와 $c$의 등비중항이라 한다.

따라서 세 수 $a$, $b$, $c$에 대하여, $b$가 $a$와 $c$의 등비중항이라면

${\frac {b}{a}}={\frac {c}{b}}=r$ 즉, $b^{2}=ac$가 성립한다.

또 $b^{2}=ac$에서 $b=\pm {\sqrt {ac}}$이므로 등비중항은 양수와 음수로 2개이다.

$b=\pm {\sqrt {ac}}$은 실제 기하평균의 꼴이다.

합 구하기

초항부터 $n$항까지의 합은 이 공식으로 나타낼 수 있다.

${\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}$ 인데, 편의상 ${\frac {a(r^{n}-1)}{r-1}}$를 사용해도 된다.

단, $r=1$인 경우, $na$로 표현한다. $r\neq 1$인 경우는 다음과 같다.

증명

$S_{n}=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+...+ar^{n-1}$

양변에 $r$을 곱하면

$rS_{n}=ar+ar^{2}+ar^{3}+...+ar^{n-1}+ar^{n}$

위 두 식을 빼면

$(1-r)S_{n}=a-ar^{n}$

$r\neq 1$이므로

$S_{n}={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}$

등비급수

$a_{1}$부터 $a_{n}$까지 더한 합인 등비급수(문화어: 같은비합렬, 영어: geometric series) 또는 기하급수 $S_{n}$은 다음과 같이 구할 수 있다.

$S_{n}=a+ar^{1}+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n-1}$

$=a(1+r^{1}+r^{2}+\cdots +r^{n-1})$

여기에서 $r$의 값이 1이 아니라면, 다음과 같이 정리할 수 있다.

$S_{n}=a{\frac {(1+r^{1}+r^{2}+\cdots +r^{n-1})(r-1)}{r-1}}$

$=a{\frac {r^{n}-1}{r-1}}=a{\frac {1-r^{n}}{1-r}}$

무한등비급수

무한등비급수(infinite geometric series)는 등비수열의 각 항을 무한히 더한 것이며, 그 합은 다음과 같다.

$\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}=\lim _{n\to \infty }{\sum _{k=0}^{n-1}ar^{k}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}={\frac {a}{1-r}}($ 단, $|r|<1$ )

같이 보기

• 등차수열
• 초기하함수

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Geometric sequence”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Geometric series”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.